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Im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie ist die Restklasse einer Zahl a {\displaystyle a} modulo einer Zahl m {\displaystyle m} die Menge aller Zahlen, die bei Division durch m {\displaystyle m} denselben Rest lassen wie a {\displaystyle a} .cite-ref-1[1]

• Definition

• Beispiele

• Verallgemeinerung

• Literatur

• Weblinks

• Einzelnachweise

Es sei m {\displaystyle m} eine von 0 verschiedene ganze Zahl und a {\displaystyle a} eine beliebige ganze Zahl. Die Restklasse von a {\displaystyle a} modulo m {\displaystyle m} , geschrieben

a + m Z , {\displaystyle a+m\mathbb {Z} ,}

ist die Äquivalenzklasse von a {\displaystyle a} bezüglich der Kongruenz modulo m {\displaystyle m} , also die Menge der Ganzzahlen, die bei Division durch m {\displaystyle m} den gleichen Rest wie a {\displaystyle a} ergeben. Sie besteht somit aus allen ganzen Zahlen b {\displaystyle b} , die sich aus a {\displaystyle a} durch die Addition ganzzahliger Vielfacher von m {\displaystyle m} ergeben:

a + m Z = { b ∣ ∣ b = a + k m f u ¨ ¨ r e i n k ∈ ∈ Z } = { b ∣ ∣ b ≡ ≡ a ( m o d m ) } {\displaystyle a+m\mathbb {Z} =\{b\mid b=a+km\ \,\mathrm {f{\ddot {u}}r\ ein} \ \,k\in \mathbb {Z} \}=\{b\mid b\equiv a\;({\rm {mod}}\;m)\}} .

Ein Element einer Restklasse bezeichnet man auch als Repräsentant der Restklasse. Häufig verwendet man die Standardrepräsentanten 0 , 1 , 2 , … … , m − − 1 {\displaystyle 0,1,2,\dots ,m-1} .

Die Menge aller Restklassen modulo m {\displaystyle m} schreibt man häufig als Z / m Z {\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } oder Z m {\displaystyle \mathbb {Z} _{m}} . Sie hat m {\displaystyle m} Elemente und die Struktur eines Ringes und wird deshalb Restklassenring genannt. Genau dann, wenn m {\displaystyle m} eine Primzahl ist, ergibt sich sogar die Struktur eines endlichen Körpers.

Eine Restklasse modulo m {\displaystyle m} heißt prime Restklasse, wenn ihre Elemente teilerfremd zu m {\displaystyle m} sind. (Wenn dies für ein Element gilt, dann auch für alle anderen.) Die Menge der primen Restklassen ist die Gruppe der Einheiten ( Z / m Z ) × × {\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }} (oder Z m ∗ ∗ {\displaystyle \mathbb {Z} _{m}^{*}} ) im Restklassenring Z / m Z {\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } ; sie wird prime Restklassengruppe genannt und umfasst die multiplikativ invertierbaren Restklassen.

• Die Restklasse von 0 modulo 2 ist die Menge der geraden Zahlen.

• Die Restklasse von 1 modulo 2 ist die Menge der ungeraden Zahlen.

• Die Restklasse von 0 modulo m {\displaystyle m} ist die Menge der Vielfachen von m {\displaystyle m} .

• Die Restklasse von 1 modulo 3 ist die Menge { … … , − − 8 , − − 5 , − − 2 , 1 , 4 , 7 , 10 , … … } . {\displaystyle \{\ldots ,-8,-5,-2,1,4,7,10,\ldots \}.}

Ist A {\displaystyle A} ein Ring und I ⊆ ⊆ A {\displaystyle I\subseteq A} ein Ideal, so heißen Mengen der Form

a + I = { a + i ∣ ∣ i ∈ ∈ I } {\displaystyle a+I=\{a+i\mid i\in I\}}

Restklassen modulo I {\displaystyle I} . Ist A {\displaystyle A} kommutativ, oder ist I {\displaystyle I} ein zweiseitiges Ideal, so hat die Menge A / I {\displaystyle A/I} der Restklassen modulo I {\displaystyle I} eine natürliche Ringstruktur und heißt Restklassenring, Quotientenring oder Faktorring modulo I {\displaystyle I} . A / I {\displaystyle A/I} wird durch Elemente in A {\displaystyle A} repräsentiert, wobei die Restklassen a + I {\displaystyle a+I} und b + I {\displaystyle b+I} in A / I {\displaystyle A/I} übereinstimmen, falls a − − b ∈ ∈ I {\displaystyle a-b\in I} gilt.

• Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 5. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2002, ISBN 3-540-64630-2.

• Christian Spannagel: Restklassen und algebraische Strukturen. Vorlesungsreihe, 2012.

• Christian Spannagel: Kongruenzen und Restklassen. Vorlesungsreihe, 2012.

cite-note-11. ↑ Fischer, Gerd.: Lineare Algebra – Eine Einführung für Studienanfänger. 18., aktualisierte Aufl. 2014. Springer Spektrum, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-658-03945-5, S. 50.